Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика»




Государственный исследовательский институт «Высшая школа экономики»
Программка дисциплины Математический анализ для направления 010100.62 «Математика»

подготовки бакалавра





Правительство Русской Федерации


Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего проф образования
"Государственный исследовательский институт
"Высшая школа экономики"


Факультет Арифметики


^ Программка дисциплины Математический Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» анализ


для направления 010100.62 "Математика" подготовки бакалавра


Создатель программки:

Левин А.М., кандидат ф.-м. наук, доктор, alevin57@gmail.com

Локтев С.А., кандидат ф.-м. наук, доцент, s.loktev@gmail.com


Рекомендована секцией УМС Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» по арифметике «___»____________ 2012 г.

Председатель С.М. Хорошкин


Утверждена УС факультета арифметики «___»_____________2012 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________


Москва, 2012

^ Реальная программка не может быть применена другими подразделениями института и другими университетами без разрешения кафедры Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика»-разработчика программки.


^ 1Область внедрения и нормативные ссылки
Реальная программка учебной дисциплины устанавливает малые требования к познаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программка создана для педагогов Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика», ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.

Программка разработана в согласовании с:



^ 2Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины Математический анализ являются:



^ 3Компетенции обучающегося, создаваемые в Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» итоге освоения дисциплины
В итоге освоения дисциплины студент должен:


В итоге освоения дисциплины студент осваивает последующие компетенции:

Компетенция

Код по ФГОС/ НИУ

Дескрипторы – главные признаки освоения (характеристики заслуги результата)

Формы и способы обучения, содействующие формированию и развитию Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» компетенции

умение

формулировать итог

СК-Б1

Верно воспроизводит чужие результаты


Верно определяет собственные результаты



Компетенция формируется в любом секторе учебного процесса


Формируется в процессе самостоятельных занятий (роль в семинарах, выполнение курсовых и дипломных работ).

умение строго Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» обосновать утверждение

СК-Б4

Воспроизводит подтверждения стандартных результатов, услышанных на лекциях


Оценивает строгость всех математических текстов

Исследование базисного курса


За счет увеличения математической культуры в процессе обучения

умение хорошо воспользоваться языком предметной области

ИК-2.2.

Распознает и воспроизводит имена главных Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» математических объектов, возникающих при исследовании данного раздела


Обладает и свободно употребляет профессиональную математическую лексику

Продумывание и повторение услышанного на лекции. Беседы с другими математиками.


Компетенция достигается в процессе скопления опыта, общения с педагогами Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика».



^ 4Место дисциплины в структуре образовательной программки
Для специализации математика реальная дисциплина является базисной, относится к проф циклу. От студентов не требуется познаний и умений, выходящих за рамки школьной программки.

Главные положения дисциплины должны быть Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» применены в предстоящем при исследовании последующих дисциплин:
^ 5Направленный на определенную тематику план учебной дисциплины

Заглавие темы

Всего часов по дисциплине Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика»

В том числе аудиторных

Самостоятельная работа

Всего

Лекции

Семинары

Огромного количества. Операции над огромными количествами. Отображения. Алгебра множеств. Мощности.

14

7

3

4

7

Действительные числа: формальное построение, аксиома о верхней грани, аксиома о стягивающихся отрезках, верхний и нижний пределы.

15

7

3

4

8

Предел последовательности. Характеристики Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» пределов (предел суммы, произведения и пр.), аспект Коши. Предел функции. Характеристики предела функции. Непрерывные функции.

15

7

3

4

8

Ряды с неизменными членами. Абсолютная сходимость. Перестановка членов ряда. Аспекты сходимости рядов с положительными Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» членами (признак сопоставления, Даламбера, Коши).

16

8

3

5

8

Асимптотические разложения по степеням приращения аргумента. Внедрение асимптотических разложений для нахождения пределов. Производная. Правила дифференцирования.

30

12

3

9

18

Степенные ряды, радиус сходимости. Умножение рядов. Формальное построение экспоненты, логарифма, степенной функции и тригонометрических функций Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика». Экспонента в всеохватывающей области.

14

7

3

4

7

Характеристики непрерывных функций на отрезке. Аксиома о промежном значении и аксиома о достижении максимума.

16

7

3

4

9

Аксиомы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора с остаточными членами Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» в форме Лагранжа и Пеано. Исследование функций при помощи производной.

24

11

3

8

13

Топологические и метрические места Определения. Примеры. Общее определение непрерывности и предела.

16

7

3

4

9

Компактность и счетная компактность. Компактность произведения топологических пространств. Аксиома Гейне Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика»-Бореля. Аспект компактности подмножества в евклидовом пространстве. Ограниченность и достижение максимума непрерывной функции на компакте.

15

8

3

5

7

Пополнение метрического места. Полнота метрических компактов. Канторово огромное количество на отрезке. Целые p-адические числа. Гомеоморфность канторова Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» огромного количества целым p-адическим числам, сюръекция канторова огромного количества на метрический компакт.

15

8

3

5

7

Построение определенного интеграла. Характеристики интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Неопределенный интеграл, техника нахождения первообразных.

14

8

3

5

6

Производная функции нескольких переменных. Личные производные. Производные высшего Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» порядка. Формула Тейлора.

14

8

3

5

6

Аксиома о неявной функции. Аксиома об оборотной функции.

14

8

3

5

6

Экстремумы функции нескольких переменных. Условный экстремум. Нахождение условного экстремума при помощи множителей Лагранжа.

14

8

3

5

6

Абстрактные места с мерой. Мера Лебега на R Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика». Интеграл Лебега от положительных функций; аксиома Беппо Леви.

26

11

3

8

15

Суммируемые функции. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.

26

11

3

8

15

Произведение мер и аксиома Фубини. Мера Лебега на евклидовом пространстве

26

11

3

8

15

Итого:

324

154

54

100

170



^ 6Формы контроля познаний студентов

Тип контроля

Форма Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» контроля

1 год

2 год

Характеристики **

1

2

3

4

1

2

3

4

Текущий

(неделя)

Контрольная работа

8

8

9

9













письменная работа 90 минут

Контрольная работа




7




7













письменная работа 90 минут

Промежу­точный

Зачет

v




v
















письменная работа 240 минут

Экзамен




v



















письменный экзамен 240 мин.

Итоговый

Экзамен











v













письменный экзамен 240 мин.

6 контрольных работ

^ 6.1 Аспекты оценки познаний, способностей
Контрольная работа состоит в решении стандартных Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» задач по материалам курса, требующих технического навыка. Оценка выставляется пропорционально количеству верно решённых задач.

На коллоквиуме (аналоге устного экзамена) проверяется умение студента без помощи других воспроизвести материал лекций с подтверждением (ответ на вопрос Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» билета), познание главных определений и утверждений курса, также умение решать задачки на осознание существа предмета. Оценка выставляется с учётом всех трёх этих качеств.

Зачёт и экзамен состоит в решении задач, требующих сочетание технических Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» способностей и осознания существа предмета. Оценка выставляется пропорционально количеству верно решённых задач.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

^ 6.2 Порядок формирования оценок по дисциплине

Оценка за текущий, промежный Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» и итоговый контроль выставляется по 10-балльной системе.


Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю последующим образом:

Отекущий = 0.5* Ок/р + 0.25* Окол + 0.25* Осам. работа

Педагог оценивает самостоятельную работу студентов: корректность выполнения домашних Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» работ, задания для которых выдаются на семинарских упражнениях, корректность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента педагог выставляет в рабочую ведомость. Скопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежным (итоговым) контролем Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика».

Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Метод округления скопленной оценки текущего контроля в пользу студента.


Результирующая оценка за промежный (итоговый) контроль складывается из результатов скопленной результирующей оценки за текущий Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен

Метод округления скопленной оценки промежного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика».


Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.


^ 7Содержание дисциплины
Раздел 1. Основания математического анализа.


Тема 1. Огромного количества. Операции над огромными количествами. Отображения. Алгебра множеств. Мощности.


Тема 2. Действительные числа: формальное построение Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика», аксиома о верхней грани, аксиома о стягивающихся отрезках, верхний и нижний пределы.


Тема 3. Предел последовательности. Характеристики пределов (предел суммы, произведения и пр.), аспект Коши. Предел функции. Характеристики предела функции. Непрерывные функции.


Тема 4. Ряды Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» с неизменными членами. Абсолютная сходимость. Перестановка членов ряда. Аспекты сходимости рядов с положительными членами (признак сопоставления, Даламбера, Коши).


Литература:


1. Зорич В.А. Математический анализ: в 2 т. – Изд. 5–е.– М.: МЦНМО, 2007.

2. Рудин Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» У. Базы математического анализа.–Спб.: Лань, 2004.

3. Львовский С. М. Лекции по математическому анализу. – М.: МЦНМО, 2008.


Раздел 2. Функции реальной переменной


Тема 5. Асимптотические разложения по степеням приращения аргумента. Внедрение асимптотических разложений для нахождения пределов. Производная Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика». Правила дифференцирования.


Тема 6. Степенные ряды, радиус сходимости. Умножение рядов. Формальное построение экспоненты, логарифма, степенной функции и тригонометрических функций. Экспонента в всеохватывающей области.


Тема 7. Характеристики непрерывных функций на отрезке. Аксиома о промежном значении и Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» аксиома о достижении максимума.


Тема 8. Аксиомы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано. Исследование функций при помощи производной.


Литература:


1. Зорич В.А Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика». Математический анализ: в 2 т. – Изд. 5–е.– М.: МЦНМО, 2007.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3–х томах. – 8-е изд.– М.: Физматлит, 2006.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции 1-го переменного Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика». –Спб.: Лань, 2002.

4. Львовский С. М. Лекции по математическому анализу. – М.: МЦНМО, 2008.


Раздел 3. Топологические и метрические подходы к анализу.


Тема 9. Топологические и метрические места Определения. Примеры. Общее определение непрерывности и предела.


Тема 10. Компактность и счетная Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» компактность. Компактность произведения топологических пространств. Аксиома Гейне-Бореля. Аспект компактности подмножества в евклидовом пространстве. Ограниченность и достижение максимума непрерывной функции на компакте.


Тема 11. Пополнение метрического места. Полнота метрических компактов. Канторово огромное количество Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» на отрезке. Целые p-адические числа. Гомеоморфность канторова огромного количества целым p-адическим числам, сюръекция канторова огромного количества на метрический компакт.


Литература:


1. Зорич В.А. Математический анализ: в 2 т. – Изд. 5–е.– М Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика».: МЦНМО, 2007.

2. Рудин У. Базы математического анализа.–Спб.: Лань, 2004.

3. Львовский С. М. Лекции по математическому анализу. – М.: МЦНМО, 2008.


Раздел 4. Функции многих переменных


Тема 12. Производная функции нескольких переменных. Личные производные. Производные высшего порядка Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика». Формула Тейлора.


Тема 13. Аксиома о неявной функции. Аксиома об оборотной функции.


Тема 14. Экстремумы функции нескольких переменных. Условный экстремум. Нахождение условного экстремума при помощи множителей Лагранжа.


Литература:


1. Зорич В.А. Математический анализ: в 2 т. – Изд Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика». 5–е.– М.: МЦНМО, 2007.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3–х томах. – 8-е изд.– М.: Физматлит, 2006.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции 1-го переменного. –Спб.: Лань, 2002.

4. Спивак Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» М. Математический анализ на разнообразиях: Учебное пособие. –2-е изд.– Перев. с англ.– Спб.: Лань, 2005.

5. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. – Изд. 4-е.– М.: Едиториал УРСС, 2007.

6. Львовский С. М. Лекции по Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» математическому анализу. – М.: МЦНМО, 2008.

7. Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачки.–М.:, УРСС, 2002.


Раздел 5. Мера и интеграл


Тема 15. Построение определенного интеграла. Характеристики интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Неопределенный интеграл, техника нахождения первообразных.


Тема Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» 16. Абстрактные места с мерой. Мера Лебега на R. Интеграл Лебега от положительных функций; аксиома Беппо Леви.


Тема 17. Суммируемые функции. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.


Тема 18. Произведение мер и аксиома Фубини. Мера Лебега на евклидовом Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» пространстве.


Литература:

1. Зорич В.А. Математический анализ: в 2 т. – Изд. 5–е.– М.: МЦНМО, 2007.

2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции 1-го переменного. –Спб.: Лань, 2002.

3. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» современного анализа. – Изд. 4-е.– М.: Едиториал УРСС, 2007.

4. Львовский С. М. Лекции по математическому анализу. – М.: МЦНМО, 2008.

5. Окстоби Дж. Мера и категория. – Пер. с англ.– М.: ЛКИ, 2008.


^ 8Образовательные технологии


В первом семестре Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» три пары академических часов распределяются последующим образом. На одной паре проводится лекция. На другой — традиционный семинар раздельно в 2-ух различных группах, одна из которых создана для изучавших ранее математический анализ, 2-ая — для Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» изучающих с нуля. 3-я пара проводится по системе листков (задач для самостоятельной работы), где с каждым из студентов дискутируют персонально по материалу этих задач.

Во 2-м семестре две пары академических часов распределены меж лекциями Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» и семинарами по системе листков.


^ 9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента 9.1Тема заданий текущего контроля
Примерные вопросы для коллоквиума

  1. Аксиоматика вещественных чисел. Принцип Архимеда как следствие аксиом.

  2. Непрерывность функций. Эквивалентность определения непрерывности Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» функции по Коши и по Гейне.


Примерные задания для контрольной работы

  1. Напишите асимптотическое разложение в нуле функции ln(cos(x)) прямо до 4 степени x.


^ 9.2Примеры заданий промежного /итогового контроля
1. Выясните Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» сходимость последовательности и найдите предел последовательности



зависимо от целых значений характеристик m и k.
^ 10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 10.1Базисный учебник
Зорич В.А. Математический анализ: в 2 т. – Изд. 5–е.– М.: МЦНМО, 2007.
10.2Основная Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» литература
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3–х томах. – 8-е изд.– М.: Физматлит, 2006.

2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции 1-го переменного. –Спб.: Лань, 2002.

3. Демидович Б.П. Сборник задач Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика» и упражнений по математическому анализу (для ВУЗов).–М.: АСТ, 2003.

4. Рудин У. Базы математического анализа.–Спб.: Лань, 2004.

5. Спивак М. Математический анализ на разнообразиях: Учебное пособие. –2-е изд.– Перев. с англ.– Спб.: Лань, 2005.

6. Уиттекер Э Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика».Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. – Изд. 4-е.– М.: Едиториал УРСС, 2007.

7. Львовский С. М. Лекции по математическому анализу. – М.: МЦНМО, 2008.
10.3Дополнительная литература

1. Окстоби Дж. Мера и категория. – Пер. с англ Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100. 62 «Математика».– М.: ЛКИ, 2008.

2. Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачки.– М.:, УРСС, 2002.

programma-disciplini-politicheskij-konsalting-dlya-napravleniya-030200-68-politologiya-podgotovki-bakalavrov-avtor-programmi.html
programma-disciplini-politologiya-dlya-napravleniya-080200-62-menedzhment-ikurs.html
programma-disciplini-povedenie-potrebitelej-dlya-napravleniya-080500-68-menedzhment.html